L'attaquant de 27 ans a récolté 20 points (neuf buts, 11 passes) en 64 rencontres avec les Sabres de Buffalo la saison dernière.
Vesey a été sélectionné par les Predators de Nashville en troisième ronde (66e au total) lors du Repêchage 2012 de la LNH. Après quatre saisons à l'Université Harvard, où il a été finaliste au trophée Hobey-Baker à titre de meilleur joueur universitaire en 2015 et 2016, il a été échangé aux Sabres, le 20 juin 2016. Il n'a pas signé de contrat avec Buffalo et est devenu joueur autonome sans compensation. Il s'est finalement entendu avec les Rangers de New York, le 19 août 2016.
Vesey a inscrit 110 points (59 buts, 51 passes) en 304 matchs de saison régulière avec les Sabres et les Rangers, et a ajouté cinq points, dont un but, en 12 rencontres des séries éliminatoires de la Coupe Stanley.
